旅人算の公式は？ 出会う・追いつく時間の求め方
旅人算は、2 人の間の距離が、1 分（1 時間）でどれだけ縮むかで考えます。向かい合って進むなら縮む速さは速さの和、同じ向きに追いかけるなら速さの差です。
そのため、出会うまでの時間 = 距離 ÷ 速さの和、追いつくまでの時間 = 離れている距離 ÷ 速さの差。たとえば、分速 60 m の弟を 600 m 後ろから分速 100 m の兄が追うと、600 ÷ 40 = 15 分で追いつきます。
旅人算の考え方は？
2 人が別々に動く様子を追うと複雑ですが、見るのは 2 人の間の距離だけで十分です。
- 向かい合って進む（出会う）: 1 分で、2 人の速さを足した分だけ近づく。
- 同じ向きに進む（追いつく）: 1 分で、速い人と遅い人の速さの差だけ近づく。
- 反対向きに進む（離れる）: 1 分で、速さの和だけ離れる。
例題 1: 向かい合って出会うのは何分後？
2.4 km 離れた 2 地点から、A さんは分速 70 m、B さんは分速 50 m で、同時に向かい合って歩き出しました。2 人が出会うのは何分後？
- 2.4 km = 2400 m。
- 1 分で近づく距離は 70 + 50 = 120 m。
- 2400 ÷ 120 = 20 分後。
例題 2: 後から出て追いつくのは何分後？
弟が家を出て分速 60 m で歩き始めました。その 10 分後に、兄が分速 100 m で同じ道を追いかけます。兄が弟に追いつくのは、兄が出てから何分後？
- 兄が出るとき、弟は 60 × 10 = 600 m 先にいる。
- 1 分で縮む距離は 100 − 60 = 40 m。
- 600 ÷ 40 = 15 分後。
- 確かめ: 兄は 100 × 15 = 1500 m、弟は 60 × 25 = 1500 m 進んでいて、同じ場所。
池のまわりを同じ向きに回る問題も同じです。速い人が遅い人に「1 周差をつける」のは、2 人の差が池 1 周の長さになったときです。
旅人算の公式は？
| 場面 | 時間の求め方 |
|---|---|
| 向かい合って出会う | 2 人の間の距離 ÷（速さ + 速さ） |
| 同じ向きに追いつく | 2 人の間の距離 ÷（速い方の速さ − 遅い方の速さ） |
| 池のまわりで出会う（反対向き） | 池 1 周 ÷ 速さの和 |
| 池のまわりで追い抜く（同じ向き） | 池 1 周 ÷ 速さの差 |
向かい合って出会う
時間の求め方2 人の間の距離 ÷（速さ + 速さ）同じ向きに追いつく
時間の求め方2 人の間の距離 ÷（速い方の速さ − 遅い方の速さ）池のまわりで出会う（反対向き）
時間の求め方池 1 周 ÷ 速さの和池のまわりで追い抜く（同じ向き）
時間の求め方池 1 周 ÷ 速さの差
方程式で解くと？
例題 2 で、兄が出てから x 分後に追いつくとすると、兄の進んだ距離は 100x、弟は 60(x + 10)。追いつくのは 2 人の距離が等しいときなので、100x = 60(x + 10)。40x = 600 で、x = 15 です。
式の 40x = 600 は、「1 分で 40 m ずつ縮めて、600 m の差をなくす」という旅人算の計算そのものです。