ニュートン算の解き方は？ 減りながら増える量の考え方
ニュートン算は、減らしている間にも、一定の速さで増え続ける量の問題です。窓口に並ぶ行列、湧き出る井戸の水、伸びる牧草などがこの形です。
解き方は、2 つの条件の差から「1 分に増える量」を出し、次に「はじめの量」を出すこと。あとは かかる時間 = はじめの量 ÷（1 分に減らす量 − 1 分に増える量） で求まります。
ニュートン算の考え方は？
行列なら、窓口が受け付けた人数は「はじめに並んでいた人数」と「あとから来た人数」の合計です。
窓口の数を変えた 2 つの条件を比べると、はじめの人数は同じなので、違いはあとから来た人数の差だけになります。ここから、1 分に来る人数がわかります。
例題: 窓口を 3 つ開けると、行列は何分でなくなる？
券売所に行列ができていて、1 分ごとに同じ人数が新しく並びます。窓口 1 つは 1 分に 4 人を受け付けます。窓口を 1 つ開けると 30 分で、2 つ開けると 10 分で行列がなくなります。窓口を 3 つ開けると、何分でなくなる？
- 窓口 1 つで 30 分: 受け付けた人数は 4 × 30 = 120 人。
- 窓口 2 つで 10 分: 受け付けた人数は 4 × 2 × 10 = 80 人。
- 差の 40 人は、30 − 10 = 20 分の間に来た人。1 分に 40 ÷ 20 = 2 人ずつ来る。
- はじめの行列は 120 − 2 × 30 = 60 人。
- 窓口 3 つなら 1 分に 12 人減り、2 人増えるので、実際に減るのは 10 人。60 ÷ 10 = 6 分。
ニュートン算の公式は？
| 求めるもの | 式 |
|---|---|
| 1 分に増える量 | （条件 A で減らした量 − 条件 B で減らした量）÷（A の時間 − B の時間） |
| はじめの量 | 減らした量 − 1 分に増える量 × 時間 |
| なくなるまでの時間 | はじめの量 ÷（1 分に減らす量 − 1 分に増える量） |
1 分に増える量
式（条件 A で減らした量 − 条件 B で減らした量）÷（A の時間 − B の時間）はじめの量
式減らした量 − 1 分に増える量 × 時間なくなるまでの時間
式はじめの量 ÷（1 分に減らす量 − 1 分に増える量）
線分図を描くときは、「はじめの量」と「増えた量」をつないだ長さが「減らした量」と等しい、と描きます。
方程式で解くと？
はじめの人数を N、1 分に来る人数を a とすると、N + 30a = 120、N + 10a = 80。引くと 20a = 40 で a = 2、N = 60。
窓口 3 つで t 分かかるとすると、60 + 2t = 12t。10t = 60 で t = 6 分です。
なぜ「ニュートン」算？
名前のとおり、ニュートンの代数の本『Arithmetica Universalis（普遍算術）』に、この形の問題があります。牛が牧草を食べる間にも、草が伸び続ける問題です。
草は 1 エーカーあたり同じだけあり、同じ速さで伸び、牛は同じ量を食べるとして計算すると、答えは 36 頭です。